Как решить: Объем треугольной пирамиды SABC равен 100. Точка D лежит…?

Как решить задачу (ЕГЭ математика)?

Объем треугольной пирамиды SABC равен 100. Точка D лежит на ребре SC и делит его в отношении 2:3, считая от вершины S. Отрезок MN – средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АВ. Найдите объем пирамиды DMNC.

(Ларин, тренировочный вариант 489)

тэги: егэ, задача, математика категория: образование ответить комментировать бонус 1 ответ: старые выше новые выше по рейтингу 0 mshdn­1955y­andex [2.1K] 5 минут назад 

Решение:

В подобных треугольниках стороны, лежащих против равных углов, пропорциональны.

Высоты пирамид SABC и DMNC вместе с ребрами SC и DC

являются гипотенузами подобных треугольников, в которых гипотенузы соотносятся

в отношении 2:3 , значит и высоты пирамид также в отношении 2:3.

Площадь основания большой пирамиды S1 = 1/2*AC*BC*sinACB

Площадь основания малой пирамиды S2 = 1/2*MC*NC*sinACB

Т.к. по условию AC = 2*MC, BC = 2*NC, то

S1 = 4*S2.

Т.к. объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту,

то соотношение объемов пирамид V1 и V2

V1:V2 = 4*3/2 : 1 = 6 : 1.

V1 = 100, тогда V2 = 100/6 = 16.(6) = 16.7

Ответ: объем пирамиды DMNC = 16.7

Источник: bolshoyvopros.ru